从「九九歌」 到「珠算口诀」

在之前的文章中﹐筆者已經介紹了‘象化思維’模式通過‘漢字’提供到在思維操作上的‘杠杆作用’。在本章中﹐筆者再深入探討一下這種‘杠杆作用’﹐在漢字社會中所造成的一種獨特的文化現象—‘口(歌)訣文化’ ﹐從而說明在發揮漢字的語言優勢這方面﹐‘象化思維’的思維操作也漸漸趨向於模式化﹐形成社會文化現象。

我們都明白到漢字有‘音形意’ 一體的表記特色﹐也就是一個音節隻表記出一個漢字﹐而一個漢字可以指示出一個或多個的概念﹐反過來﹐漢字的概念來自於漢字的字形﹐而每一個漢字隻用一個音節讀音。這種‘音形意’ 互為捆綁的特色﹐令到漢語文成為世界上獨一無二的文字(請參看之前的專章﹐了解有關漢字的發展來由)。至於漢字之外的文字﹐就以英語為例﹐作為‘印-歐語系’ 屈折語的一員﹐因為文字以表音作為方式﹐英文表記的概念來自語言中的音素﹐多個音素才指示一個概念﹐所以概念也指示多個字母為單位的形素。因此﹐相比世界上的其它語言﹐漢語文因為漢字隻有一個音節讀音的固定形式﹐所以在表達同樣語意的情況下﹐漢語文往往可以用最小量的讀音(音節或音素)就達到相同的功能。本書所定義的‘杠杆作用’ 就是以記憶漢語文的發音為首要任務﹐然后再在記憶的同時或之后﹐把讀音聯系上讀音相關的漢字﹐以漢字把握記憶內容的語意﹐甚至也可以跳過漢字字形﹐以音節直接聯系語意也可以。再進一步﹐記憶者甚至可以發揮漢字的‘象化概念’ 特性﹐通過‘取象類比’ 方式擴大‘象化概念’ 的屬性范圍﹐以上的思維操作就是‘杠杆作用’ 。‘杠杆作用’ 最后可通過最小量的語音記憶來挑動起‘象化思維’ 的運作﹐這是‘杠杆作用’在‘象化思維’ 裡所發揮到的最大功能。不過﹐這種‘杠杆作用’也可以簡單一點﹐隻用語音來調動語意﹐就是把要記憶的數據編成‘平仄’調和﹑字數對等甚至音韻相壓的詩歌式文體﹐這就是‘歌訣’ 或‘口訣’ 。

‘歌訣’以琅琅上口的讀音﹐讓大腦把數據記憶下來﹐在記憶的過程中不要求理解﹐如果能夠理解就更好﹐因為理解后的記憶自然更加牢固。隻是‘記憶’ 為第一要務﹐記憶后再慢慢理解也不遲﹐正如傳統學子背誦《四書》‘五徑’一樣。傳統學子背誦《四書》‘五徑’是為寫好‘八股文’ ﹐這是出於現實的目的。在民間社會中出現的‘歌訣’ ﹐也是為現實目的而服務﹐主要是把在某行業或某個學術技術領域中﹐復雜的操作步驟編成歌訣 的形式﹐把歌訣記憶下來后﹐就可以在一邊念歌訣時﹐一邊把整個操作過程演練出來。這樣對大腦來說﹐復雜的操作步驟就簡化為可唱讀的歌訣﹐大腦隻要熟記住歌訣中的發音規律﹐哪些讀音相連而互相壓韻﹐就可以在念歌訣的同時﹐輕而易舉的把操作步驟重演出來。至於﹐通過理解步驟原理來幫助記憶﹐這種較為花費時間的記憶方式﹐在歌訣記憶模式中就可以自然免去。現在﹐讓我們修改一下‘杠杆作用’ 圖來說明歌訣的作用方式, 如下﹕

我們再深入探討一下歌訣模式﹐在行為和思維層面上的操作模式吧。筆者在此想問讀者﹐在我們日常生活中﹐接觸最多的是什麼歌訣呢﹖如何我們以歌訣的應用目的入手思考的話﹐我們會想到算術應該會是每一個人在日常碰到的再平常不過的操作吧﹐不論我們的職業是什麼﹐每天總會因為購物或者工作需要而作些簡單計算﹐而‘乘法九九歌’ 就是我們在乘法運算時必用的‘口訣’ 。溯源乘法九九歌﹐它最早在二千多年前的春秋時代已經流行﹐當時的‘乘法九九歌’ 由‘九九八十一’ 開始到‘二二如四’ ﹐所以用口訣中的第一句‘九九八十一’ 中的‘九九’ 來命名‘乘法口訣’ 為‘九九歌’ 。直至到宋代﹐九九歌的順序才採取從小數目到大數目的形式﹐成為今天我們使用的乘法九九歌。九九歌對大家來說﹐真是倒背如流的了﹐當小學開始學習乘法之前﹐學生就要求必須熟記九九歌 。‘九九歌’ 的內容大致如下﹕

在‘九九歌’ 中﹐一共出現的漢字(漢式數字) 其實隻有以下的十一個﹐不同的音節也是十一個﹕
一﹑二﹑三﹑四﹑五﹑六﹑七﹑八﹑九﹑十﹑得

所以﹐大腦隻需要記下的是十一個音節﹐然后在九九歌中反復念誦就完成了九九歌的全部內容。我們從小就開始背誦九九歌﹐在運算的時候就應用九九歌 。說到九九歌 的運用方式﹐我們可以用橫向‘杠杆作用’的方式來作比喻﹐就是隻要完全熟記其中的內容﹐當需要求算出兩個個位數的乘積時﹐隻要念出這兩個數字如‘二五’(表示‘2×5’) 就可以魚貫的背出‘九九歌’ 中‘二五一十’的整個部份﹐其中的‘一十’ 就是那個要求的乘積。九九歌在功能上就如同‘公式’ 一樣﹐隻要輸入讀音就順理成意的念出結果﹐於是運算的過程就可以完全省略了﹐如下﹕

‘九九歌’ 已經成為我們生活中不可或缺的一部份﹐背誦它就如同我們吃飯穿衣一樣﹐成為了條件反射的動作﹐所以我們可能不覺得九九歌是如何的了不起。現在﹐讓筆者向讀者介紹一下﹐西方世界為了達到我們九九歌的功能﹐需要作出的努力。眾所周知﹐西方是沒有九九歌的﹐當然這是語言差異所造成的原因。如果﹐我們用英文把九九歌的內容翻譯過來﹐成為英文版的‘九九歌’ ﹐看一下情況如何(隻選取第二與第九段的部份)﹕

可見﹐中國式九九歌音節整齊的詩歌模式﹐在英文版中已不復存在。若然再比較雙方使用的音節方式﹐我們發現﹕

對誦讀從‘1’ 到‘10’ 的十個數量概念﹐漢語隻用十個音節就可以解決了﹐‘十二’ 也隻是‘十’ 與‘二’ 的組合﹐在‘十’ 之外的數量不需要一個全新的漢字作代表。但是在英語裡﹐表示‘十’ 的概念﹐需要以三種讀法來表示﹐單獨的‘十’ 為‘ten’﹐‘十三’ 的‘十’ 為‘-teen’﹐‘二十’ 中的‘十’ 為‘-ty’ 。在這樣的情況下﹐令到英語式‘九九歌’ 的讀音變得額外的復雜﹐而不利於誦讀與記憶。所以﹐西方世界是沒有中國式的‘九九歌’ ﹐而隻有‘乘法表’ ﹐而他們的‘乘法表’ 也是大小不一的﹐有些隻有9以內的部份﹐有些也包括了9以上的數量, 如下﹕

西方人也隻能夠 ‘強記’ 這個表格﹐而不是‘誦讀’ 。所以﹐為了幫助學生記憶這個‘乘法表’ ﹐教育工作者就想出了不同的步聚讓孩子記憶。例如要求他們由2的乘法開始﹐再到5和10的乘法﹐然后到9﹐再到6﹑7﹑8的乘法等﹐這樣一步步加強記憶﹐直至把整個表的內容都記憶下來。不過這真的挺花工夫和時間﹐而且沒有語意相關的幫助﹐記憶的結果也不如‘九九歌’的准確。因此﹐在歐洲一直流行著一種用手指操作的簡易乘法﹐這種方法可用的范圍是從‘5-9’ 之間的相乘﹐還有‘10-15’ 之間的相乘﹐因此﹐有關‘1-4’內的所有相乘都要熟記﹐不過‘手指乘法’ 要比‘死記’ 的乘法就減少了不少記憶上的負荷。

方法如下﹕例如﹕‘7×9’
(為了求証的方便﹐設為A=7﹐B=9)

手指動作代數証明
舉起雙手﹐伸出所有手指
因為7比5多2﹐所以左手屈起2隻手指
因為9比5多4﹐所以右手屈起4隻手指
左屈﹕A-5
右屈﹕B-5
加起雙手所屈的手指﹕2+4=6
再乘以‘10’ ﹕6×10=60
(A-5)+(B-5)=A+B-10
10(A+B-10)=10A+10B-100
把雙手伸出的手指數量作相乘
左伸﹕5-2=3
右伸﹕5-4=1
3×1=3
左伸﹕5-(A-5)=10-A
右伸﹕5-(B-5)=10-B
(10-A)(10-B)=100-10A-10B+AB
把前后結果相加﹕60+3=63=7×9(10A+10B-100)+(100-10A-10B+AB)=AB

10以上15以下的乘法﹐方法如下﹕例如﹕‘13’ 乘‘14’
(為了求証的方便﹐設為A=13﹐B=14)

td>(A-10)(B-10)=AB-10A-10B+100
手指動作代數証明
舉起雙手﹐伸出所有手指
因為13比10多3﹐所以左手屈起3隻手指
因為14比10多4﹐所以右手屈起4隻手指
左屈﹕A-10
右屈﹕B-10
加起雙手所屈的手指﹕3+4=7
再乘以‘10’ ﹕7×10=70
(A-10)+( B-10)=A+B-20 10(A+B-20)=10A+10B-200
把雙手屈起的手指數量作相乘
3×4=12
把前后結果相加再加上‘100’﹕70+12+100=182=13×14(10A+10B-200)+(AB-10A-10B+100)+100=AB

可見﹐對於沒有‘九九歌’ 的西方社會﹐個位數的乘法都可以成為這樣一個令人頭痛的問題。筆者還親眼看過一個澳洲的問答游戲節目‘誰能成為百萬富翁(Who wants to be a millionaire ?)’ ﹐其中有一條低獎金的問題是‘7×8=?’﹐答題者是一位中老年的婦女﹐她根本上就不能通過心算來計算﹐她當然沒有背過‘九九歌’ ﹐所以她隻好問現場觀眾﹐但是現場觀眾中還是有5%的人士選錯了答案﹐最后這位答題者根據‘大多數’ 人的意見﹐也選對了‘72’ 作為答案。筆者相信這樣的‘算術題’ 絕對不會在華人社會裡提出吧﹐隻要讀過一下九九歌﹐任何一位人士也可以‘條件反射’ 般地吐出答案。所以﹐在海外的華人眼中﹐西方人的算術能力特別差﹐不能以心算一下子得到運算結果﹐還要筆算﹐甚至要數‘指頭’(可能就是以上的‘手指乘法) ﹐有時候還算錯。沒有九九歌的幫助和漢語在‘音形意’ 方面的孤立捆綁性(請參看有關‘十進制’ 的專章)﹐這樣就造成了西方人心算能力較華人差的原因。筆者還聽過﹐有些海外出生的華人﹐雖然不能操基本的華語﹐思維也以當地語言來操作﹐但是當計算(算術) 時﹐還是使用漢語作為運算語言。可見﹐漢語不但產生了九九歌也在算術方面存在著明顯的優勢﹐這就是漢語漢字的‘符素性’ ﹐這令到漢語漢字先天就具備了‘符號性’。

‘九九歌’作為‘乘法’ 的操作口訣﹐我們在上文已經討論過﹐現在再看一下其它的操作口訣吧。在算術方面﹐還有一種口訣是非常重要的﹐就是‘珠算口訣’ 。‘算盤’是中國人發明的計算工具﹐它的流行與推廣離不開操作口訣的產生﹐因為珠算口訣令到算盤的使用變得容易多了。在口訣熟練的情況下﹐打算盤計算的速度有可能比按計算器很快。算盤本身是不會計算的﹐所有的計算操作和運算邏輯都包含在珠算口訣中﹐隻要按‘口訣’ 的內容﹐調動起‘橫向’的‘杠杆作用’ (如下圖)﹐手指就可以根據‘口訣’ 的指示﹐撥出運算的結果。

可見﹐在發明算盤(珠算的前身為‘算籌’) 之前﹐就不需要對‘數理’作出過深入而全面的認知﹐所以這不是認知上的突破。算盤的計算原理與十七世紀數學家柏斯卡發明的機械式‘加減機’﹐以及現代的計算器都完全不一樣﹐前者隻是一種發揮思維優勢的操作方式﹐而后者的‘加減機’與計算器在設計上已經包含了計算機制 ﹐整個計算過程是發生在機器中而不是大腦在執行‘口訣’操作的時候(大腦還需要根據算盤上的情況來判斷使用哪一條‘口訣’)。算盤上一切的運算步驟都通過珠算口訣來操作﹐因此‘口訣’ 才是算盤的‘靈魂’﹐隻有珠算口訣出現后﹐算盤才會有生命力與價值﹐才會有被推廣的可能性。‘珠算口訣’ 的可行性也如同‘九九歌’一樣﹐以漢語作為思維工具是它存在的唯一原因。因此﹐漢語就是發明珠算口訣的唯一基礎。因為珠算口訣才是算盤操作的運算機制﹐而算盤隻是‘輔助’的工具而已﹐所以就有‘珠心算’的出現。‘珠心算’不使用‘有形’的算盤﹐而隻在腦海中浮現一個‘虛擬’的算盤﹐然后通過‘口訣’‘撥打’這個‘算盤’來作計算﹐隻要‘口訣’ 熟練﹐成效也和真正的算盤無異。請看部份的‘珠算口訣’﹕

一、加法口訣表

不進位的加 進位的加
直加滿五  加進十加破五進十加
一 一上一 一下五去四
二 二上二 二下五去三
三 三上三 三下五去二
四 四上四 四下五去一
一去九進一
二去八進一
三去七進一
四去六進一…

二、減法口訣表

不退位的減  退位的減
直減破五減  退位減  退十補五的減
一 一下一 一上四去五 一退一還九
二 二下二 二上三去五 二退一還八

三  三下三  三上二去五  三退一還七

四  四下四  四上一去五  四退一還六…

一些西方人也對珠算有興趣﹐所以把珠算口訣翻譯成英語﹐學習起算盤來﹐以下是一些英語式的‘珠算口訣’ ﹕
加法口訣﹕
One ﹐lower five﹐cancel four
Two ﹐lower five﹐cancel three….
其實這是把‘珠算口訣’直譯過去的結果﹐但是我們用英語念起來﹐就完全沒有漢語那種琅琅上口的感覺。沒有讀音優勢的配合﹐珠算口訣也就不再易於記憶﹐所以算盤在西方也很難推廣。在沒有產生‘口訣’的情況下﹐西方人也不會發明和廣泛使用算盤這種計算工具。