永不停息的工作=永不停息的「認知」

因為‘非歐幾何學’ 的產生﹐‘量化思維’也就慢慢把‘神’ 這個概念從‘量化認知’ 模式中淡化出去。經歷過這次的‘事變’過程后﹐歐洲人就開始重新回過頭來﹐審視這個長期經營的‘量化理論’ 模式是否也存在著其它的問題。當歐洲人平心靜氣的回顧他們所創造的數學成果時﹐他們不難發現﹐其中存在著不少的矛盾部份或者存在著沒有充足邏輯理據下的推論﹐這些的‘問題’ 似乎充份反映出數學的‘人為性’﹐這些問題也有可能在某一天﹐變成導致數學這幢理論大廈倒塌的螞蟻洞。以下就是一些有關的問題﹕

  • 印度人從有理數的平方積關系﹕√36=√9√4=>√AB=√A√B﹐認為這個關系存在普遍性﹐也可以用在‘無理數’ 上。
    數學家歐拉也認為可以根據√AB=√A√B﹐認為√-1√-4=√4=2。但在﹐這種推理背后不存在充份的理據﹐因此﹐古希臘人也從來不輕易承認‘無理數’ 的存在。
  • 數學家萊布尼茲認為㏒(-A) 沒有意義。
    但是有人認為可以是㏒(-A)= ㏒A﹐
    因為﹕㏒(-A)= 1/2㏒(-A)2
    = 1/2㏒A2  (借用了(-A)2= A2 的關系﹐把-A代換成A)
    = ㏒A
    不過﹐㏒(-A) 如同√-1一樣的確不存在任何物理意義﹐而到目前為止也隻是一個數學符號上的概念。
  • 無窮多項式﹕1/(1+x)=(1+ x)-1= 1- x + x 2- x 3+ x 4…
    如果x =1﹐(1+1)-1=1/2=( 1-1)+(1-1)+(1…=0
    或  =1-(1-1)-(1-1)…=1
    所以變成1/2=0 或 1﹐顯然這個結果違反數學邏輯。
    但是如果設右邊數列為一個整體﹕
    1-1+1-1+1…=S=>S=1-(1-1+1-1+1…)=1-S=> S=1-S=>2S=1=>S=1/2
    這樣﹐數列右邊又等於左邊的‘1/2’了。
    可見對無窮數列來說﹐使用不同的劃分法﹐將會得到不一樣的結果﹐這在當時又是一個存在的問題。(后來﹐西方數學家才明白到無窮數列可分為‘收斂’ 與‘發散’ 兩種﹐這是其中的性質。)
  • 對自然數列每一個自然數都可以找到一個相對的‘偶數’ ﹐本來自然數列中包括‘偶數’ 與‘奇數’ ﹐按這種邏輯﹐自然數的個數應該比偶數要多﹐但是如果按以下這種一對一的比較多法﹐無窮的自然數總數量似乎與偶數的個數一樣的多﹐這樣矛盾又出現了。

    (這個問題最后引發出‘集合論’ 的產生﹐‘集合論’ 對自然數列作出重新定義后﹐這個問題也在新定義下得到完滿解決。不過﹐好景不長﹐在二十世紀初﹐英國數學家羅素(Bertrand A.W. Russell﹐1872-1970)提出了‘羅素悖論’ ﹐這是對‘集合論’ 的質疑。)
  • ‘羅素悖論’ 以‘集合論’ 的表示形式為﹕
    X={x| xX} (X是一個集合﹐其中的元素x不屬於集合X)
    如果x∈X(x屬於集合X) ﹐則xX(x不屬於集合X) ﹐如果xX(x屬於集合X)則x∈X﹐顯然x∈X與xX自相矛盾。把這個‘集合關系’ 通過日常生活中的例子來表達﹐就是‘理發師悖論’ ﹐有一位理發師作出聲明﹕‘他隻給不給自已刮胡子的人刮胡子。’那樣﹐他究竟應不應該為自已刮胡子呢﹖這顯然又是自相矛盾了。后來﹐羅素等人引入了更多的集合公理﹐把集合的公理體系完善后﹐總算把風波平息過來。
  • ‘三球問題’ ﹕這個問題指三個物體﹐例如是三個球體﹐如果同時相撞﹐或者像月球﹑地球和太陽﹐通過萬有引力互相作用於其它的兩方﹐到目前為止﹐人類的認知能力也不足以預測‘三球’ 在同時作用后的運動方向。

鑒於以上的種種問題﹐‘量化思維’ 在十九世紀開始發起了對數學邏輯作出全面檢討的運動。因為‘量化思維’ 的理論模式到那時為止﹐已經簡化到隻有‘直覺’﹑ ‘量化概念’與‘邏輯量化點’的基本元素﹐‘直覺’的判斷來自大腦﹐這是與生俱來的﹐因此不能對大腦的生物功能作任何的修改﹐而‘量化概念’已經是在當前認知水平下確認為最‘量化’ 與‘不可分割’ 的概念﹐對它的再‘量化’ ﹐這意味著新理論的誕生。所以﹐在認知水平不作改變的情況下﹐‘量化思維’ 隻能對‘邏輯量化點’ 作出進一步的完善﹐這就是所謂的‘公設’ 與‘公理’ 。如果能把邏輯系統修改得更加完善﹐由邏輯推導出的數學理論的正確性也可以得到保証。於是﹐從十九世紀末開始﹐‘量化思維’ 的西方社會開始了一系列對邏輯體系的整理運動﹐其中的內容包括有﹕

  • 對新公理的建立(例如﹐羅素通過建立新公理解決了‘羅素悖論’) 。
  • 改良現有公理﹐通過更加簡潔的語言重新表達公理﹐這是對公理在表達方式上的簡化(例如現在我們使用的‘平行公理’ ﹐它在1795年由John Playfair提出﹐現在普遍成為教科書上的標准版本﹐語句比原有的歐幾裡德版本更簡化和語意更精要。) ﹐盡量把長話短說﹐三個句子可以簡化為兩個句子的﹐就由兩句子來取代等等。

這種對理論模型的鞏固工作﹐雖然不能完全保証將來不會再發生任何的理論危機﹐但是畢竟可以把這種機會通過人為的努力降到最低﹐這就是‘量化思維’ 永不停息的工作﹐在這種工作中﹐‘量化思維’ 的認知能力也得到不斷的拓展。