'量化认知'的'三大模式'
古希腊时代的数学家把‘视觉图像’ 分解为基本的‘量化概念’—点﹑直线和圆(弧) ﹐然后创立‘几何学’ 这一门数学分支。从那时开始﹐‘量化思维’ 通过发展‘理论系统’(客体)来认知‘外部世界’ (主体)的模式就已经完全定形。之后﹐同样具有‘量化思维’ 的西方人所要做的事情﹐只不过是在这个认知模式的原型中﹐对其中的‘思维元素’ —‘量化概念’﹑ ‘量化逻辑’和‘表记方式’的内容作出修改或添加就可以﹐这样就可以发展新的学术分支。本章是以数学与物理理论为主﹐具体来说﹐就是简单讲解一下发展新数学分支和建立新物理理论的过程。在思维的三大元素中﹐‘量化逻辑’ 的方式基本就是欧几里德几何学的公理体系和演释法则。‘表记方式’ 主要是‘数学符号’ ﹐数学符号令到‘量化概念’ 和‘量化关系’ 具备了存在的条件和表记的方法。因为整个‘量化思维’ 的操作模式就是‘循量而行’ ﹐也就是从‘量化概念’ 开始展开思维操作﹐所以﹐‘量化思维’ 在认知之前必须寻找系统中的‘量化概念’ ﹐然后再通过‘量化逻辑’ 作为辅助﹐对整个系统进行认知过程。于是﹐‘量化概念’是‘量化理论’ 中的‘基点’ ﹐改变‘量化概念’ 的内容﹐也就是改写旧理论和建立新理论的开始。因此﹐‘量化思维’ 建立理论存在着以下的‘三大模式’﹕
- 建立新‘量化概念 ’ ﹐新理论的开始﹐通过‘量化概念’ 构成‘客体’ ﹐对认知对象‘主体’ 进行认知。
- 对旧‘量化概念’的再‘量化’ ﹕分解现有的‘量化概念’ 为更基本的单位﹐以此作为新的‘量化概念’ ﹐这意味着‘新理论’ 不仅可包容和解释旧的理论﹐而且可以得出更多的结论﹐认知水平更加深入。
- 对旧‘量化概念’的否定或代换﹐以新‘量化概念’作取代﹐这是新理论的开始
‘解析几何’ 及‘微分几何’—‘量化理论’ 建立模式二
在古希腊时代开始的欧几里德几何学﹐其中的‘量化概念’是‘点’ ﹑‘直线’ 和‘圆’ 。这些几何元素构成了几何学的研究对象。虽然﹐古希腊人知道‘点’ 是一切几何图形中最基本的单位﹐‘直线’ 的定义(定义四) 说到﹐‘直线上均匀分布着点’ 。换句话说﹐就是‘点’ 组成了‘直线’ 。不过﹐因为‘点’的定义已经指出‘点’ 本身没有‘大小尺寸’ ﹐只可能用作表示‘空间位置’ ﹐而且几何学中主要的表记工具是‘直尺’ 和‘圆规’ ﹐它们绘画出来的是‘线’ 而非‘点’﹐虽然‘字母’ 可指示‘点’ 的存在位置﹐但是这仅仅是在表记媒体(如纸)上的位置﹐不能表达出这个‘点’ 本身的任何内容与状态﹐所以‘点’ 的独立出现没有具体的意义﹐更没有‘确定性’ 的存在。
它的存在只能通过‘线’ 来反映。当两线相交的时候﹐我们可以确定‘点’ 存在于两线相交的位置上﹐还有当一条线段出现时﹐我们肯定线段的两端为‘点’ 的存在。可见﹐在几何学中﹐‘点’ 虽然在名义上是所有几何图形的基本单位﹐但因为缺乏了‘量化概念’ 所要求的‘确定性’ ﹐所以﹐‘点’ 的概念只能依附着‘线’ 的概念而存在。从真正的‘量化’意义看﹐直尺与圆规所作的‘直线’ 与‘圆(弧) ’ 因为具有‘确定性’ ﹐而与概念上的‘点’成为几何学中完整的‘量化概念’—最基本和不可分解的概念 。
到了十六世纪的欧洲﹐笛卡尔在统一代数和几何学的愿望下﹐发展出‘解析几何学’ 这一门数学分支。首先﹐在解析几何学中﹐以两条互相垂直的直线相交作为坐标﹐上面有X-Y轴的位置数值﹐相交的点为‘原点’ 。在这种系统中﹐‘点’的概念就可以通过X与Y轴上的数值来确定﹐点a就可以表记为﹕a(x,y) ﹐X与Y轴上的数值确定了这个点与X-Y轴之间的距离﹐这就是‘点’ 所包含的内容﹐这提供到无可非议的‘确定性’ 。因此﹐在解析几何学中‘点’ 的概念就真正因为具有了‘确定性’ 而成为了‘量化概念’ 。这就意味﹐解析几何学把几何学 中的‘量化概念’再‘量化分解’ 为更小的‘单位’ ﹐然后以这个新的单位对目标系统进行认知﹐这就是‘量化理论’ 的建立模式一。现在﹐在解析几何学中﹐直线的概念也同样的通过两个点来决定﹐这样线段的长度就可以通过线段两端坐标数值的函数来表示,而且﹐解析几何学还可以通过坐标上的函数关系y=f(x)表示包括直线在内的所有线﹕
这就说明﹐在‘量化思维’的认知模式下﹐只要把‘量化概念’ 再分解为更小的‘量’ ﹐这就能够通过这个小量来认知更多有关对象的内容。以‘量化概念’的内容比较﹐几何学与解析几何学之间的差别是﹐后者细化了前着的‘量化概念’ ﹐然后再以这个新的‘量化概念’作认知基础﹐这样不单可以认知到前者曾经达到的水平(解析几何方法同样可以证明几何学上的命题﹐例如‘三解形内角和’ 为180度这样的定理) ﹐而且可以获得对象更多的信息。例如﹐只有解析几何学出现后﹐才可能对各种不同的曲线进行研究﹐还有了解到曲线各个位置的‘斜率’ ﹐在这个客观基础上﹐才可能在日后创立出‘高等数学’ 这门数学分支。但是﹐几何学也是解析几何学的基楚﹐根据‘量化概念’由整体到分解的时间过程﹐我们可以肯定几何学与解析几何之间存在着因果关系﹐还有解析几何学与几何学一样也是‘量化思维’ 的产物。
‘量化思维’的认知模式﹐就是对系统中‘量化概念’作不断分解的过程。因此解析几何学在十九世纪﹐也同样像欧几里德几何一样出现概念的再分解﹐成为了‘微分几何学’ 的新数学分支。这种‘微分几何学’ 是研究‘曲面’ 的数学方法﹐它认为传统的几何学与解析几何学﹐只是研究‘平直’空间的情况﹐也就是说‘空间’ 是‘平坦’ 的﹐如果﹐空间如同‘球面’ 的表面一样弯曲的话﹐情况就会不一样。为了表示这种空间的‘扭曲’ 程度﹐微分几何学在解析几何学中‘平坦’ 的坐标系数值上﹐引入了两个参数p与q﹐指示‘空间’ 的‘扭曲’ 程度。因此﹐在解析几何学中‘点’的概念被再分解了﹐现在成为了p与q的函数﹐如下﹕
x=x(p,q), y=y(p,q), z=z(p,q)
因此﹐长度在解析几何学中表示为﹕
l=√x2+y2+z2
现在在微分几何学中则表示为p与q的征分函数。
l=√Edp2+2Fdpdq+Gdq2 (E,F,G 是p与q的函数)
微分几何把解析几何中的‘量化概念’再作分解﹐之后再以此来认知空间系统。所以﹐微分几何学所认知的内容也包括平面空间的情况﹐只要‘曲率’ 为零时﹐微分几何学的对象就回复到位于平直空间上的传统几何学问题。在‘量化概念’的角度看﹐微分几何学是把解析几何学中的‘量化概念’ 进行再分解后﹐发展出来的新数学分支﹐同样运用了‘量化理论’ 的建立模式一。
极坐标与虚实数坐标—‘量化理论’ 建立模式三
极坐标系统是一种不同于‘笛卡尔’ 式的坐标系统﹐它通过原点上的角度和从原点至‘点’的长度来表示一个坐标‘点’的位置。
极坐标系统和虚实数坐标系统的产生都使用了‘量化理论’ 的建立模式三﹐把原有的‘量化概念’转换为另一种的‘量化概念’ ﹐以‘长度’ 与‘角度’ 的方式来标记﹐然后就可以把整个的认知对象以新的‘量化概念’ 来作重新的认识﹐同时产生了另一门‘数学分支’ —极坐标系统。
往往与极坐标一起使用的另一种坐标系统是‘虚实数坐标’ ﹐‘虚数’与‘实数’是两种完全不同种类的数量概念﹐它们之间互不干涉﹐也就是在实数数轴中没有虚数的存在﹐而在虚数中也不能找到实数﹐这种互不相容性就如同二维空间的X与Y轴一样﹐也是互不干涉而互相垂直的。所以﹐在‘笛卡尔’ 坐标中的‘量化概念’X与Y值﹐也可以转换为‘实数’ 与‘虚数’ 数轴﹐在‘量化概念’被转换后﹐一个全新的认知系统也随之而产生。以下是转换‘量化概念’ 来建立新理论的方式﹕
对数表—‘量化理论’ 建立模式二
‘对数’的出现也是把数量的基本概念分解开来(如下图)﹐令到每一个数成为一个以‘10’ 为底数的次方数量﹐完成了这个分解过程后﹐数量之间的较为复杂的‘乘法’ 运算就可以简化为‘幂(次方数量) ’ 之间的‘加法’运算﹐这样只要在事先把大部份的数量化为10为底数的次方形式﹐把数的次方数量汇编成表﹐这就是所谓的‘对数表’了。对数表发明于十六世纪﹐它的出现令到当时及以后在天文计算得到简化﹐这就令到天文学家能够在更短时间内得到大量和准确的天文数据﹐开普勒也因此而有可能从大量的天文数据中﹐总结出有关行星的运动规律而提出‘开普勒三大定律’﹐对数表不仅对天文计算有利﹐而且也广泛应用于工程计算中。直至到二十世纪﹐对数表才逐渐被计算机(器)所取代。
‘机率学’ 与‘拓朴学’—‘量化理论’ 建立模式一
机率学与拓朴学的产生﹐都应用了‘量化理论’ 建立的模式一﹐就是在定义‘量化概念’后﹐以此作为基础对认知对象进行全面认知而发展出的理论。
人类对机率的正式研究开始于十七世纪﹐如果要我们想象一下‘机率’ 问题最常出现的地方会在哪里呢﹖我们都会异口同声的回答﹐是在赌抟场上。对﹐人类把‘机率’ 作为真正的认知对象也是由一个赌徒向十七世纪法国数学家柏斯卡(Blaise Pascal﹐1623-1662)提出的‘赌抟’ 问题开始的。之后﹐当时另一个法国数学家费尔马(P.Fermat ,1601—1665)也对‘机率’ 问题进行过研究。这基本上就是‘机率’ 问题成为今天一门重要数学分支的开始。
其实﹐说到赌抟活动﹐可以说是一种在世界各地都普遍存在的现象﹐只要有人出现的地方﹐随之而来都会有作为娱乐活动的‘赌抟’ 行为。但是﹐要对它进行系统的学术研究﹐也就只有欧洲人才能做到这一点。因为今天的‘机率学’ 起源自‘量化思维’对机率问题认知的过程﹐也只有在‘量化思维’ 的认知模式下才可能令到‘机率学’ 发展成为专门科学。如果﹐没有把当年古希腊人认知图像信息所发展出几何学的模式﹐套用到认知‘机率’ 的问题上﹐也不可能令到一种‘游戏’ 现象成为数学的研究对象。如果换作以‘象化思维’ 来认知机率问题﹐‘象化思维’ 会把‘机率’ 现象归纳到‘运气’ 的‘象化概念’内﹐而不是把这个认知对象进行‘量化分解’ ﹐‘象化思维’ 可能也会把‘运气’ 的程度或是‘属性’以‘象化逻辑’ 方式与‘时辰’ ﹑‘风水’ 或周围人物的‘五行生克’ 拉上关系﹐以此模式发展出来的绝不是数学而是‘玄学’ 而已。
大自然的世界和人类的文明社会其实就是一个充满机率的埸所﹐在我们生活的每一秒钟里﹐都可以碰到‘机率’ 的问题﹐天气的好坏是机率﹐走在路上会不会遇见熟人或发生意外﹑回到家的晚饭吃什么是机率﹐在经济市场上的价格起伏就更是机率﹐只要有我们不能掌握和预知的事情﹐就有机率问题的存在。而欧洲人以‘赌抟’ 问题作为‘机率’ 研究的入手处﹐这是因为‘机率’ 情况在这里反映得最为明显﹐还有因为有直接的金钱利益关系﹐所以问题就特别引人重视。不过﹐更主要的原因是前者﹐在一个较简单和‘确定性’ 较高的地方入手作认知过程﹐这也是‘量化思维’ 进行认知外部信息的惯用手法。对‘量化思维’ 来说﹐出现在生活中变化无常的‘机率’ 问题必须要首先作‘量化分解’(如下图)﹐直至达到一个不可再分割和绝对可以‘确定’的情况﹐从这里建立‘量化概念’ ﹐然后再开展全面的认知过程。
‘量化思维’ 把各种不同的‘机率’ 情况分解为一种简化的‘机率’ 操作—抽球游戏。以下图我们可以看一下‘量化思维’ 怎样把‘量化概念’ 从这个事件的各个元素中建立起来。
可知‘机率’ 问题﹐基本上就是从建立(定义) 的两个‘量化概念’ 开始﹐‘事件’和‘机率’﹐其中后者也是两个基本概念‘预期的结果数量’ 与‘所有可能的结果数量’ 的除法结果。这些‘量化概念’ 显然是‘机率’ 问题中‘不可再分解’ 的基本因素﹐而且都是可见和可感知的事件和物体(就像是‘抽球’ 的游戏和‘球’ ) ﹐它们都具备了‘确定性’ ﹐所以完全具备了成为‘量化概念’ 的条件。当建立好‘量化概念’ 后﹐配上‘演绎法则’ 和数学符号成可以构成‘机率’ 中认知对象的‘客体’﹐整个‘量化理论’ 就可以成形。机率学的理论也就可以对更复杂﹐如天气﹑市场变化和意外发生等问题进行认知研究。
如同机率学一样﹐‘布尔代数’ 的产生就是研究‘事件’在‘机率学’ 范围外的情况﹐‘0’ 与‘1’ ﹐分别指‘发生’ 与‘不发生’ 这两种截然对立的状态。布尔代数在十九世纪中由英国数学家布尔(George Boole, 1815-1864)提出﹐这是一门对‘事件’ 关系作认知的数学分支﹐它不研究事件发生的‘机率’ ﹐而认识‘事件’ 之间的逻辑关系﹐具体来说是一门逻辑科学。每一个事件只有‘是’ 与‘否’ 的两种状态﹐正如现实生活中的‘能够’ 与‘不能够’ ﹑判断上的‘是’ 与‘非’ ﹑事件发生上的‘发生’ 与‘没有(不) 发生’ ﹐程度上的‘达到’ 与‘不达到’ 等﹐‘量化思维’ 为了能够认知‘事件’ 的状态与事件之间的逻辑关系﹐把认知对象‘量化分解’为‘是’ 与‘否’ 的两个基本状态概念, 如下图:
‘量化概念’就建立在‘是’ 与‘否’ 的两个不可再分割的单位上﹐然后定立出‘量化概念’之间的逻辑法则来认知这种互动关系﹐这是布尔代数的运算法则。对‘量化理论’ 模式而言﹐这就是‘逻辑量化点’ 。可见﹐布尔代数这门数学分支的发展重点﹐建立在‘逻辑量化点’ 上﹐它的‘量化概念’ 相对机率学来说就简单得多﹐因为机率学和布尔代数在理论重点上各有不同。
在‘量化概念’和‘量化逻辑点’都确立的情况下﹐布尔代数作为新的‘量化理论’就可以成立了。
‘拓朴学’的始创人是十七世纪的德国数学家欧拉(Leonhard Euler﹐1707-1783)﹐他由解决‘七桥问题’ 开始﹐经过研究不同的多面形体后﹐得出‘欧拉定理’ ﹐这可以算是‘拓朴学’ 最早的理论。
拓朴学不同于普通的几何学﹐它不研究点与线的空间位置和空间关系﹐它的对像是构成形体中点﹑线与面之间的数量关系﹐而非长度或空间位置。面对‘七桥问题’(如下左图中有 7条桥﹐问题问是否可以不重复的走完 7条桥﹐每条桥只能走一次 ) ﹐‘量化思维’ 就会把‘认知对象(主体)’(下左图 ) 分解和简化为最基本的形式—客体(下右图) ﹐这就是解决‘七桥问题’ 的关键了。
在面对形体时﹐‘量化概念’ 是建立在点﹑线和面的数量上﹐而非像几何学的空间位置上。改变了‘量化概念’ 的形式﹐全新的‘量化理论’ 也就可以建立起来(如下图)。
可见在拓朴学中﹐‘量化概念’是点﹑线和面﹐而认先的对象是它们的数量而非空间位置。基于不同的‘量化概念’ ﹐虽然同样是对形体作研究﹐但由此引伸而出的理论就截然不一样﹐从而发展出不一样的学术分支。
微积分—‘量化理论’ 建立模式二
有关微分的概念﹐在西方真正产生‘微积分学’ 之前﹐公元四世纪的阿基米得已懂得通过无限切割或细分的方法﹐求得如球体这种曲面的近似值。在中国的《庄子》一书中的‘天下篇’， 里面记有‘一尺之棰，日取其半，万世不竭’。三国时期的刘徽在他的割圆术中也提到‘割之弥细，所失弥小，割之又割，以至于不可割，则与圆周和体而无所失矣。’可见古希腊与中国的先哲智者都已经意识到﹐数量可以作无限微分而源源不绝﹐不过他们还只是停留在了解上﹐而没有对这种性质加以进一步的认知﹐得到任何实质性的概念定义。这个工作虽然要到十八世纪由达朗贝尔(Jean d'Alembert 1717-1783) 通过引用‘极限’ 的概念﹐才最后完成对‘微分量’ 的定义﹐最后得到一个能让西方学者都一致认同的解释。
不过﹐‘微积分学’ 在十七世纪下半叶﹐由牛顿与莱布尼兹分别在前人的基础上完成﹐虽然两位创始者人都没有对这个‘微分量’ 的定义给出一个让当时学术界满意的答案﹐就连他们本人对自已的解释也不能满意﹐但是他们都提及到这个概念与‘极限’ 有关﹐莱布尼兹更明白这个‘微分量’ 要比已知的所有量都少﹐他们都明白到这个量不等于‘零’ ﹐但在运算中有时可以把它们当‘零’ 一样忽略掉﹐让运算简化。但是西方人能以可无穷分割的‘微分量’ 为基础﹐最后建立出一个全新的数学分支‘微积分学’ ﹐而东方人只能停留在意识上的朴素认知﹐然后通过文字表达出来。造成两者从相同的认识水平开始﹐却最终产生出完全不一样的认知成果﹐其中的原因完全是因为西方的‘量化思维’ 能够把数量作进一步的‘量化’﹐直至得到这个不可再分割的‘微分量’ ﹐它的‘不可再分割性’ 来自它是一个比‘已知一切的量还少’ 的‘量’﹐但是它不等于‘零’ ﹐所以它是不可再分割的﹐而东方人对它的理解还在‘万世不竭’ 的‘无穷’概念上﹐也就是停留在属性的认识上。同时﹐‘量化思维’ 模式不但通过定义给出了这个概念的‘确定性’ ﹐而且也使用符号来指示它﹐符号对概念也提供到进一步的‘确定性’ ﹐这一点也是东方不能达到西方人的认知水平的原因。虽然刘征看出这种无限分割存在着极限﹐但是没有符号对它作指示﹐在思维层面上也就不能完全接受这个概念﹐也不能把它作为一个‘量’ 而投入到分析运算(信息处理)中。不过﹐牛顿则创造了
这个符号﹐表示出量在时间下所作出的微小改变 ﹐而莱布尼兹就使用dx的形式来表示‘微分量’ ﹐一个量对另一个量的微小变化就成了dy/dx 的表示形式。通过图例可以总结如下﹕
经典物理学vs相对论理论—‘量化理论’ 建立模式三
经典物理学也称为‘牛顿物理学’ ﹐这套理论架构的建立人主要是牛顿﹐所以理论也以牛顿之名来命名。在这一套理论中有一个‘假设’ ﹐就是‘物体的速度以‘算术和’ 的方式不断迭加而没有极限’ ﹐这个观点与其说是‘假设’﹐也可算是一个‘逻辑量化点’ ﹐因为这定下了‘速度’ 之间的物理(数学) 关系。如果物体A以V的速度前进﹐在A上发射出另一物体B﹐相对A的速度为V﹐那样物体B的总速度就应该是U+V。如果物体B为光源﹐光速为C﹐那样光速也应该为C+V。这个‘逻辑量化点’ 在当时的科技条件下﹐因为实验的误差比较大﹐所以不可以通过实验方式来证实光速中不存在迭加现象。但是到了二十世纪初﹐当人类的科技可以达到以更精确的方式测量光速的时候﹐也就意外的发现‘光速’ 是恒定的而不存在迭加现象。于是根据演绎法则﹐‘量化思维’只能认为这个假设(量化逻辑点)是不正确的。因此﹐爱因斯坦(Albert Einstein﹐1879-1955)就以‘光速具有恒定不变的速度’ 作为新的‘假设’ —‘量化逻辑点’ ﹐这一新观点重新改写了物体之间的逻辑关系﹐因此得出了更为精确的速度迭加模式﹐如果原有的速度分别是u和v﹐新的速度和等于﹕
(注﹕c表示光速。)
可见﹐速度之间的关系并非是简单的‘算术和’ 关系﹐而是要比‘算术和’小。如果速度越是接近光速﹐经典物理学的结果与相对论的就会相差越大。所以我们可以认为牛顿物理学在‘低速’ 的情况下﹐还可以‘准确’的反映物理世界的现象。
从经典物理学到相对论理论﹐正是‘量化理论’ 的建立模式三所提及的﹐把以前的理论中的‘量化概念(或逻辑量化点) ’ 否定后﹐同时以新的概念内容取而代之﹐旧理论的正确性就会被完全推翻而新理论也得以建立起来。
以上通过西方数学和物理理论的发展和其中一些分支的建立方式﹐可以具体的说明‘量化理论’ 的三种建立模式。读者如果对这方面有兴趣的话﹐不妨可以尝试分析一下其它理论中的‘量化概念’ ﹐然后判断一下这个理论是根据哪一个模式建立的。在有一定了解之后﹐我们可以认识到只要把这一套模式作为工具运用到认知其它方面上﹐然后就可以建立具体的理论分支。当二十世纪到来后﹐西方人把这一套已完全成熟的理论模式应用在各种不同的方面﹐作为认知各样知识的途径。因此﹐人类自二十世纪开始就产生了为数甚多的专门理论﹐如经济学﹑统计学﹑分类学﹑运筹学﹑军事科学和管理学等等﹐这都是在‘量化思维’ 的理论模式创立后﹐把这种模式应用到现实领域中的结果。直至现在﹐这种专门理论的建立趋势还在继续中。